Question

某位收藏爱好者鉴定一批物品中的每一件时，将正品错误地坚定为赝品的概率为

1

3

，将赝品错误地坚定为正品的概率为

1

2

．已知这批物品一共4件，其中正品3件，赝品1件
（1）求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件，赝品2件的概率；
（2）求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数为X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）有两种可能得到结果为正品2件，赝品2件其一是错误地把一件正品鉴定成赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定成赝品，把一件赝品鉴定成正品，其他鉴定正确．由此能求出该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件，赝品2件的概率．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，4．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：（1）有两种可能得到结果为正品2件，赝品2件
其一是错误地把一件正品鉴定成赝品，其他鉴定正确；
其二是错误地把两件正品鉴定成赝品，把一件赝品鉴定成正品，其他鉴定正确．…（3分）
∴P(X=2)=

C

1 3

×(

1

3

)×(

2

3

)2×

1

2

+

C

2 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

=

1

3

…（6分）
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=(

1

3

)3×

1

2

=

1

54

；
P(X=1)=

C

1 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

+(

1

3

)3×

1

2

=

7

54

；
P(X=2)=

1

3

；
P(X=3)=(

2

3

)3×

1

2

+

C

1 3

×(

2

3

)2×(

1

3

)×

1

2

=

10

27

；
P(X=4)=(

2

3

)3×

1

2

=

4

27

，
故X的分布列为

X=i	0	1	2	3	4
P（X=i）	1 54	7 54	1 3	10 27	4 27

EX=

7

54

+2×

1

3

+3×

10

27

+4×

4

27

=

5

2

…（12分）

点评：本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．