Question

（2011•潍坊二模）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．
（I）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；
（Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）设Q为AB上的一点，满足BQ=

1

3

AB．由线面平行的性质证出MD∥NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到

QB

QA

=

BP

PM

，从而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用线面平行判定定理，证出QP∥平面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；
（II）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量

CM

、

CN

和

DC

的坐标．利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出

m

=（1，-2，-2）为平面CMN的一个法向量．根据线面垂直的判定定理证出DC⊥平面BNC，从而得到

DC

=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量，最后用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．

解答：解：（I）当AB上的点满足BQ=

1

3

AB时，满足QP∥平面AMD，
∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．
∴

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，且

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，
∴

QB

QA

=

BP

PM

=

1

2

，在△MAB中，可得QP∥AM．
又∵QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一点Q，当BQ=

1

3

AB时，有QP∥平面AMD；
（II）以DA、DC、DM所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）
∴

CM

=（0，-2，2），

CN

=（2，0，1），

DC

=（0，2，0）
设平面CMN的一个法向量为

m

=（x，y，z）
∴

m • CM  =-2y+2z=0 m • CN =2x+z=0

，取z=-2，得x=1，y=-2
由此可得

m

=（1，-2，-2）为平面CMN的一个法向量
∵NB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴NB⊥CD
又∵BC⊥CD，BC∩NB=B
∴DC⊥平面BNC，可得

DC

=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量
∵cos＜

m

，

DC

＞=

m • DC

|m| • |DC|

=

4

3×2

=

2

3

∴平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值等于

2

3

．

点评：本题在特殊多面体中，探索线面平行并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．