题目内容

设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=lnx-x，则有（　　）
A、f(
1
3
)＜f(
3
2
)＜f(
2
3
)
B、f(
2
3
)＜f(
3
2
)＜f(
1
3
)
C、f(
2
3
)＜f(
1
3
)＜f(
3
2
)
D、f(
3
2
)＜f(
2
3
)＜f(
1
3
)
分析：当x≥1时，f（x）=lnx-x，易判断f（x）为单调递减的，
又它的图象关于直线x=1对称，离x=1距离近的函数值大，转化为判断与1的距离问题．
解答：解：当x＞1时，f′(x)=
1
x
-1＜0，故函数f（x）在（1，+∞）单调递减，
f(
1
3
)=f(2-
1
3
)=f(
5
3
)，
f(
2
3
)=f(2-
2
3
)=f(
4
3
)，
4
3
＜
3
2
＜
5
3
，
故f(
5
3
)＜f(
3
2
)＜f(
4
3
)，
即f(
1
3
)＜f(
3
2
)＜f(
2
3
)．
或者根据图象的对称性，离x=1距离近的函数值大解决．
故选A
点评：本题考查函数的性质、比较大小等知识，考查利用知识解决问题的能力．
练习册系列答案
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f（0）＜f（3）＜f（-2）
．
设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=
1
x
，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(
1
x
)的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜
1
x
对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．
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