Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

，并且函数y=f'（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若曲线C对应的解析式为g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

，求曲线C过点P（2，4）的切线方程；
（3）（实）过点A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c为偶函数，得到b=0，再由当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

，解得 a=

2

3

，c=-1，由此能求出f（x）．
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，设切点为（x₀，y₀），则y₀=

1

3

x03+

4

3

，由此能求出切线方程．
（3）设切点坐标为（t，

2

3

t3-t），切线方程为：y-

2

3

t3+t=（2t²-1）（x-t），把A（1，m）代入，得

4

3

t3-2t2+m+1=0，由过点A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲线y=f（x）的三条切线，知

4

3

t3-2t2+m+1=0有三个解，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c为偶函数，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
∵当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

，
∴

f(- 2 2 )=- 3 2 4 a- 2 2 c= 2 3 f′(- 2 2 )= 3a 2 +c=0

，
∴解得 a=

2

3

，c=-1，
∴f（x）=

2

3

x3-x．
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，
设切点为（x₀，y₀），则y₀=

1

3

x03+

4

3

，k=g′（x）| x=x0=x 02，
切线方程为：y-（

1

3

x03+

4

3

）=x02（x-x₀），
代入点P（2，4）化简得：x 03-3x 02+4=0，解得x₀=-1，或x₀=2，
所以切线方程为：x-y+2=0或4x-y-4=0．
（3）设切点坐标为（t，

2

3

t3-t），
∵f（x）=

2

3

x3-x，∴f′（x）=2x²-1，
则切线方程为：y-

2

3

t3+t=（2t²-1）（x-t），
把A（1，m）代入，得m-

2

3

t3+t=（2t²-1）（1-t），
整理，得

4

3

t3-2t2+m+1=0，
∵过点A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴

4

3

t3-2t2+m+1=0有三个解，
记g（t）=

4

3

t3-2t2+m+1，
则g′（t）=4t²-4t，
令g′（t）=4t²-4t=0，得t=0，或t=1，
列表讨论，

t	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴当t=0时，g（t）取极大值g（0）=m+1，
当t=1时，g（t）取极小值g（1）=m+

1

3

，
要使g（t）有三个零点，只需m+1＞0且m+

1

3

＜0，解得-1＜m＜-

1

3

．
∴实数m的取值范围是（-1，-

1

3

）．

点评：本题考查函数表达式的求法，考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．