Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁?如何组拼？试证明你的结论；

(3)在(2)的情形下,设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E,求平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

解：(1)该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC₁=6，故所求体积是V=×6²×6=72.                   

(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图所示.

证明：∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D为全等的正方形，于是，

故所拼图形成立.                                                             

(3)以C为原点，CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如下图).

∵正方体棱长为6，

则E(0，0，3)，B₁(0，6，6)，A(6，6，0).

设向量n=(x，y，z)，满足n⊥，n⊥，

于是解得                                         

取z=2，得n=(2，-1，2).又=(0，0，6)，cos〈n,BB₁〉=.

故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为.