Question

已知函数f(x)=

x+b

x2-1

是定义域（-1，1）上的奇函数，
（1）求b的值，并写出f（x）的表达式；
（2）试判断f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质确定b的值．
（2）利用函数的单调性判断函数的单调性．

解答：解：（1）因为函数f（x）的定义域为（-1，1）且f（x）是奇函数，
所以f（0）=0，即f（0）=

b

-1

=-b=0，解得b=0．
所以f（x）=

x

x2-1

．
（2）函数f（x）为减函数，证明如下
设-1＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=

x1

x 2 1 -1

-

x2

x 2 2 -1

=

x1( x 2 2 -1)-x2( x 2 1 -1)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

=

(x2-x1)(1+x1x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以

x

2 1

＜1，

x

2 2

0，1+x₁x₂＞0，
所以f(x1)-f(x2)=

(x2-x1)(1+x1x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）为减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是判断函数单调性的常用方法．