Question

已知函数f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+3(x＞0)，若实数a使得f（x）=0有实根，则a的最大值是（　　）

• A．-

  5

  2

• B．

  3

  4

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：先整理函数方程解析式，设x+

1

x

=t进而可知t的范围，再代入函数解析式转化为t²+at+1=0在[2，+∞）有实根，需判别式大于等于0且大根大于等于2，进而列出不等式求出a的范围，再求出它的最大值．

解答：解：f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+3=(x+

1

x

)2+a（x+

1

x

）+1，
设x+

1

x

=t，因为x＞0，则t≥2，
则有f（t）=t²+at+1，
∵t²+at+1=0有实根，
∴△=a²-4≥0，且大根

-a+ a2-4

2

≥2，
即

a2-4≥0 -a+ a2-4 2 ≥2

，解得，a≤-

5

2

，则a的最小值为-

5

2

，
故选A．

点评：本题主要考查了方程与函数的综合运用，解题的关键利用了换元法整理函数解析式，利用判别式的符号和根的大小列出不等式组，再进行求解，注意换元后的取值范围，这是易忽略的地方．