题目内容
设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f'（x），若函数y=f'（x）的图象关于直线x=
对称，且函数y=f'（x）有最小值x=-
．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x2-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数m的取值范围．
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x2-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数m的取值范围．
分析：（Ⅰ）求导数，根据函数y=f'（x）的图象关于直线x=
对称，且函数y=f'（x）有最小值x=-
，可求出函数的解析式，从而可确定函数的单调性，进而可求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）确定f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2，构造函数h（x）=f（x）+g（x），确定函数的单调性与极值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，构建不等式，从而可求m的取值范围．
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）确定f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2，构造函数h（x）=f（x）+g（x），确定函数的单调性与极值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，构建不等式，从而可求m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）求导数，可得f′(x)=3x2+4ax+b=3(x+
)2-
+b
∵函数y=f'（x）的图象关于直线x=
对称，且函数y=f'（x）有最小值x=-
．
∴-
=
，且-
+b=-
，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x3-4x2+5x-2
∴f'（x）=3x2-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴当x＜1或x＞
时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在（-∞，1]或[
，+∞)上单调递增
当1＜x＜
时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在[1，
]上单调递减
∴x=1时，函数y=f（x）取得极大值f（1）=1-4+5-2=0；
x=
时，函数y=f（x）取得极小值f(
)=(
)3-4(
)2+5×
-2=-
…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3-4x2+5x-2，∴f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增
∴h（x）极大值=h（-1）=3+m，h（x）极小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴
或
，解得m＜-3或m＞29
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）
| 2a |
| 3 |
| 4a2 |
| 3 |
∵函数y=f'（x）的图象关于直线x=
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴-
| 2a |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4a2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴f（x）=x3-4x2+5x-2
∴f'（x）=3x2-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴当x＜1或x＞
| 5 |
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| 5 |
| 3 |
当1＜x＜
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴x=1时，函数y=f（x）取得极大值f（1）=1-4+5-2=0；
x=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3-4x2+5x-2，∴f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增
∴h（x）极大值=h（-1）=3+m，h（x）极小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴
|
|
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数与方程的联系，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．
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