Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=-．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由B和C为三角形的内角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，然后将C变形为（B+C）-B，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos[（B+C）-B]后，根据B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB和cosB的值，将各自的值代入求出cos[（B+C）-B]的值，即为cosC的值；
（Ⅱ）由C为三角形的内角及第一问求出的cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-，
得sin（B+C）===，
又B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）-B]
=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-×+×=；…（6分）
（Ⅱ）∵cosC=，C为三角形的内角，sin（B+C）=，
∴sinC===，sinA=sin（B+C）=．
在△ABC中，由正弦定理=得：=，
∴c=8，又a=5，sinB=，
则△ABC的面积为S=acsinB=×5×8×=10．…（12分）
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．