Question

已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值及f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0
∴
∴a=1 …（3分）
∴…（4分）
（2）f（x）在R上是增函数
证明：∵
设x₁＜x₂，则（7分）
∵x₁＜x₂，∴
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数． …（9分）
（3）由（2）知，f（x）在[-1，2]上是增函数 …（10分）
∴f（x）在[-1，2]上的最小值为f（-1）=-，最大值为f（2）= …（12分）
分析：（1）根据f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，代入函数中，即可求得求a的值及f（x）的解析式；
（2）先判断f（x）在R上是增函数，再用定义法证明即可；
（3）利用函数的单调性，可求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的最值，利用定义证明函数的单调性，利用单调性求最值，是解答这道题的关键．