Question

已知函数f(x)=sin2

π

4

x-

3

sin

π

4

xcos

π

4

x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此时x的值；
（Ⅱ）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得到结论；
（Ⅱ）利用f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2，且函数的周期为4，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=sin2

π

4

x-

3

sin

π

4

xcos

π

4

x=

1-cos π 2 x

2

-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin（

π

2

x+

π

6

）
∴

π

2

x+

π

6

=2kπ-

π

2

，即x=2k-

4

3

（k∈Z）时，f（x）的最大值

3

2

；
（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2，且函数的周期为4，2012=4×503
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2×503=1006．

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．