Question

已知圆C：x²+y²-4x-6y+12=0，求：
（Ⅰ）过点A（1，1）的圆的切线方程；
（Ⅱ）在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将圆C方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心与点A的斜率，写出所求切线方程即可；
（Ⅱ）根据切线方程在两条坐标轴上截距相等设切线方程为xx+y=m，根据圆心到切线的距离d等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）将圆方程化为标准方程得：（x-2）²+（y-3）²=1，
∴圆心C坐标为（2，3），半径r=1，
∴直线AC斜率为

3-1

2-1

=2，即直线AC方程为y-3=2（x-2），即2x-y-1=0，
∴过点A（1，1）的圆的切线方程斜率为-

1

2

，
则过点A（1，1）的圆的切线方程为y-1=-

1

2

（x-1），即x+2y+3=0；
（Ⅱ）根据题意设所求切线方程为x+y=m，
∵圆心到切线的距离d=r，
∴

|2+3+m|

2

=1，即m=-5±

2

，
则所求切线方程为x+y+5-

2

=0或x+y+5+

2

=0．

点评：此题考查了圆的切线方程，以及直线的截距式方程，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．