题目内容
（1992•云南）设抛物线经过两点（-1，6）和（-1，-2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是4
，求抛物线的方程．
| 10 |
分析：由两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）2=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（-1，6）在抛物线上，代入可得2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．因此p=
．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，化为4（a-1）x2+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1），利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p．
| 8 |
| a-1 |
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
解答：解：∵两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）2=2p（x+a）．（p＞0）．
∵点（-1，6）在抛物线上，∴2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．∴p=
．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，化为4（a-1）x2+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x1+x2=
，x1x2=
．
∵|AB|=
=4
，
∴5[(
)2-
]=16×10，化为2a2-a-3=0，解得a=-1或a=
．
∵a＞0，∴a=
．
∴p=
=16．
∴抛物线的方程为(y-2)2=32(x+
)．
∵点（-1，6）在抛物线上，∴2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．∴p=
| 8 |
| a-1 |
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
∴x1+x2=
| 9-5a |
| a-1 |
| 9a-25 |
| 4(a-1) |
∵|AB|=
| (1+22)[(x1+x2)2-4x1x2] |
| 10 |
∴5[(
| 9-5a |
| a-1 |
| 9a-25 |
| a-1 |
| 3 |
| 2 |
∵a＞0，∴a=
| 3 |
| 2 |
∴p=
| 8 | ||
|
∴抛物线的方程为(y-2)2=32(x+
| 3 |
| 2 |
点评：熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．
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