Question

过抛物线x²=4y的焦点的直线交抛物线于A、B两点，抛物线分别在A、B两点处的切线交于Q点，则点Q的纵坐标是

-1

．

Answer 1

分析：先求出抛物线x²=4y的焦点坐标，得过抛物线x²=4y的焦点的直线方程，将所得方程与抛物线x²=4y联解，消去y得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理得x₁x₂=-4．再用函数求导数的方法，得抛物线过A点的切线方程为y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），化简得y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，同理得到在点B处切线方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，两方程消去x，得两切线交点Q纵坐标满足y_Q=

x1x2

4

，可得点Q的纵坐标是-1．

解答：解：∵抛物线x²=4y的焦点为F（0，1）
∴设过抛物线x²=4y的焦点的直线为y=kx+1．
设直线与抛物线的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=4y y=kx+1

，消去y得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理，得x₁x₂=-4，
抛物线x²=4y，即二次函数y=

1

4

x²，对函数求导数，得y'=

1

2

x，
所以抛物线在点A处的切线斜率为k₁=

1

2

x₁，
可得切线方程为y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），化简得y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
同理，得到抛物线在点B处切线方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，两方程消去x，
得两切线交点Q纵坐标满足y_Q=

x1x2

4

∵x₁x₂=-4，
∴y_Q=-1，即点Q的纵坐标是-1．
故答案为：-1

点评：本题给出抛物线过焦点的弦，分别在两个端点处的切线交于点Q，求Q点的纵坐标，考查了抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．