Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁(-1，0)，F₂(1,0)，过F₁作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(I)若ΔABF₂为正三角形，求椭圆的离心率；
(II)若椭圆的离心率满足,为坐标原点，求证:.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

解析试题分析：（Ⅰ）由椭圆定义易得为边上的中线，在中，可得，即得椭圆的离心率；（Ⅱ）设，，由，，先得，再分两种情况讨论，①是当直线轴垂直时；②是当直线不与轴垂直时，都证明，可得结论．
试题解析：（Ⅰ）由椭圆的定义知，又，∴，即为边上的中线，∴,        2分
在中，则，∴椭圆的离心率．       4分
（注：若学生只写椭圆的离心率，没有过程扣3分）
（Ⅱ）设，因为，，所以    6分
①当直线轴垂直时，，，,
=，因为，所以，恒为钝角，
.         8分
②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒为钝角.，所以恒有．      12分
考点：1、椭圆的定义及性质；2、直线与椭圆相交的综合应用；3、向量的数量积的坐标运算.