Question

【题目】已知圆，直线， .

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆

【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系，即可判定直线与圆总有两个不同的交点；

（2）设中点为，当直线的斜率存在时，利用∵，化简得；当直线的斜率不存在时， ，此时中点为，即可得到中点的轨迹方程；

试题解析：

证明：（1）圆的圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离.

所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；

（2）设中点为，

因为直线恒过定点，

当直线的斜率存在时， ，又，

∵，∴

化简得.

当直线的斜率不存在时， ，

此时中点为，也满足上述方程.

所以的轨迹方程是，

它是一个以为圆心，以为半径的圆.