Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数g（x）=x²f'（x）+2x³，若函数g（x）的最小值为-2-8

2

，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，再解f'（x）＜0以及f'（x）＞0即可找到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）把函数f（x）在[1，+∞）上单调递增转化为其导函数在[1，+∞）上恒大于等于0，在结合x≥1即可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）先求出函数g（x）的导函数，找到其取最小值时对应的变量，结合函数g（x）的最小值为-2-8

2

，求出实数a即可求函数f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

2

x

+4lnx
所以f′(x)=-

2

x2

+

4

x

=

4x-2

x2

当0＜x＜

1

2

时，f'（x）＜0，∴递减区间为（0，

1

2

）；
当x＞

1

2

时，f'（x）＞0，∴递增区间为(

1

2

，+∞)
（Ⅱ）令f′(x)=-

2

x2

+

a

x

≥0
∴

a

x

≥

2

x2

又∵x≥1
∴a≥

2

x

恒成立
又因为

2

x

≤2在x[1，+∞）上恒成立
∴a≥2
（Ⅲ）∵g(x)=x2(-

2

x2

+

a

x

)+2x3=2x3+ax-2（x＞0）
∴g'（x）=6x²+a
当a≥0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值；
∴a＜0
令g'（x）=0则x0=

- a 6

?a=-6x₀²
当0＜x＜x₀时，g'（x）＜0，g（x）递减；
当x＞x₀时，g'（x）＞0，g（x）递增；
∴当x=x₀时，g（x）取最小值-2-8

2

．
g(x0)=2

x

3 0

+ax0-2=2

x

3 0

-6

x

2 0

•x0-2=-4

x

3 0

-2=-8

2

-2
∴

x

3 0

=2

2

∴x0=

2

∴a=-12
∴f(x)=

2

x

-12lnx

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，在利用导数研究函数的单调性时，导函数大于0对应的区间为函数的增区间；导函数小于0对应的区间为函数的减区间．