题目内容

已知函数f（x）=e^x-ax-1，e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求正实数a的值；
（3）在（2）的条件下，n∈N^*，证明：（ $数学公式$ ）ⁿ+（ $数学公式$ ）ⁿ+…+（ $数学公式$ ）ⁿ+（ $数学公式$ ）ⁿ＜ $数学公式$ ．

解：（1）由f′（x）=e^x-a，得x=lna，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单减区间为（-∞，lna），单增区间为（lna，+∞），
所以a≤0时，f（x）只有单调递增区间为（-∞，+∞）．
a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）．…（5分）
（2）由（1）得f（x）的最小值为f（lna）=a-alna-1，
f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即f（x）_min≥0．
设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（9分）
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x=- $\text{[math]}$ （n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1- $\text{[math]}$ ≤e- $\text{[math]}$ ．
∴（1- $\text{[math]}$ ）n≤（e- $\text{[math]}$ ）n=e-k．
∴（ $\text{[math]}$ ）ⁿ+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ+…+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ≤e-（n-1）+e-（n-2）+…+e-2+e-1+1
= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；
（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．由（1），构造函数g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；
（3）由（2）知，对任意实数x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x，令x=- $\text{[math]}$ （n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），可得0＜1- $\text{[math]}$ ≤e- $\text{[math]}$ ，从而有（1- $\text{[math]}$ ）n≤（e- $\text{[math]}$ ）n=e-k，由此即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．