Question

已知集合A={x∈R|mx²-2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（Ⅰ）A=∅；
（Ⅱ）A恰有两个子集；
（Ⅲ）A∩（

1

2

，2）≠∅

Answer 1

（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx²-2x+1=0 没有实数解，则m≠0，
且△=4-4m＜0，所以m＞1； （3分）
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx²-2x+1=0 恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=

1

2

，满足题意；
②当m≠0时，△=4-4m，所以m=1．
综上所述，m的集合为{0，1}．（3分）
（Ⅲ）若A∩（

1

2

，2）≠∅则关于x的方程mx²=2x-1在区间（

1

2

，2）内有解，
这等价于当x∈（

1

2

，2）时，求值域：m=

2

x

-

1

x2

=1-（

1

x

-1）²
∴m∈（0，1]（5分）