Question

已知函数，且在上的最大值为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），
对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，
当a=0时，f（x）=-，不合题意；
当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，
从而f（x）在（0，）单调递减，
又函数在上图象是连续不断的，
故函数在上上的最大值为f（0）=-，不合题意；
当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，
又函数在上图象是连续不断的，
故函数在上的最大值为f（）==，
解得a=1，综上所述，得。
（2）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点
证明如下：由（1）知，，
从而有f（0）=-＜0，f（）=＞0，
又函数在上图象是连续不断的，
所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，
又由（1）知f（x）在（0，）单调递增，
故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．
当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，
由g（）=1＞0，g（π）=-π＜0，
且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．
由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，
从而g（x）在[，π]上单调递减．
当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，
从而f（x）在（，m）内单调递增
故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，
从而（x）在（，m）内无零点；
当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，
即f′（x）＜0，
从而f（x）在（，m）内单调递减
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，
从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点。
综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点。