Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N₊，有Sn=

3

2

an-

3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

log3an•log3an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得Sn=

3

2

an-

3

2

，所以a_n=Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，即an=

3

2

an-

3

2

an-1，由此可以推导出a_n=3ⁿ．
（2）由题设知bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此用裂项求和法可知{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）由已知得Sn=

3

2

an-

3

2

，
∴当n≥2时，Sn-1=

3

2

an-1-

3

2

；
∴Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，即an=

3

2

an-

3

2

an-1，
∴当n≥2时，a_n=3a_n-1；
∴数列{a_n}为等比数列，且公比q=3；
又当n=1时，S1=

3

2

a1-

3

2

，
即a1=

3

2

a1-

3

2

，∴a₁=3；
∴a_n=3ⁿ．

（2）∵log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
∴bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
∴{b_n}的前n项和Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数项的通项公式的求法和裂项求和法的运用，解题时要注意运算能力的培养．