Question

一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为

1

3

，出现“×”的概率为

2

3

，若第m次出现“√”，记为a_m=1，若第m次出现“×”，则记为a_m=-1，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）求信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”的概率．
（2）求S₄=2的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”，即4次独立重复试验中恰有2次发生，由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算可得答案；
（2）S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=2，根据题意分析可得，a₁、a₂、a₃、a₄中，有3个为1，另1个为-1，即前4次变化中“√”出现3次，“×”出现1次，由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”，即4次独立重复试验中恰有2次发生，
则其概率P=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

=

8

27

（2）S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=2，a₁、a₂、a₃、a₄的值为1或-1，
分析可得，a₁、a₂、a₃、a₄中，有3个为1，另1个为-1，
即前4次变化中“√”出现3次，“×”出现1次．
则其概率P=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)1=

8

81

．

点评：本题考查n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算，解题的关键在于分析题意，将问题转化为n次独立重复试验中恰有k次发生的事件．