Question

已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）由函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），知，由此能求出a，b．
（2）由f（x）==1+，知2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，知，或，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．
法二：（1）由f（x）是奇函数，知，由此能求出a，b．
（2）由y=f（x）=，知＞0，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．
解答：解法一：（1）：函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴，（3分）即，（4分）
解得a=1，b=-1．经检验f（x）为奇函数，
故a=1，b=-1．（5分）
（2）∵a=1，b=-1．
∴f（x）==1+，（7分）
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，∴，或，
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是递减，（15分）
∴f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）．（16分）  
解法二：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即，
得（ab+1）•2^2x+2（a+b）•2^x+ab+1=0，
∴，得，或，…（3分）
又∵f（1）=3，∴，即2a-3b=5，
∴a=1，b=-1．…（5分）
（2）∵a=1，b=-1，∴y=f（x）=，∴，（7分）
∵2^x＞0，∴，解得y＜-1，或y＞1．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是递减，（15分）
∴f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）．（16分）
点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，考查函数的单调性的判断．解题时要认真审题，注意待定系数法、分离常数法、定义法和等价转化思想、函数奇偶性的合理运用．