Question

已知函数f(x)=loga

x+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)=loga

x+1

x-1

在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥2，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先求出定义域，利用对数的性质证明f（-x）=-f（x），故函数在定义域内是奇函数．
（Ⅱ） ①当a＞1时，有

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0对x∈[2，4]恒成立，即0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得（x+1）（x-1）（7-x）的最小值为15，得到 0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得 （x+1）（x-1）（7-x） 的最大值
为45，故m＞45．
（Ⅲ） n=2 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2． n=3 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2．当n≥4时，
a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＜2ⁿ-2．    n≥4时，由 2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

 得到证明．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=loga

x+1

x-1

在定义域上是奇函数．
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①当a＞1时，∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0对x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x³+7x²+x-7，g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

，
∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0，∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15，∴0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)+…+f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

+…+loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

×…×

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

，∴af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

当n=2时，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2，
当n=3时，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2，
当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2，下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．
证明：当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

，
∴当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，函数的恒成立问题，用放缩法证明不等式，用放缩法证明不等式是解题的
难点．