题目内容
已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2(1+
)2an.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(An2+Bn+C)·2n,试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由;
(3)求证：a1+a2+a3+…+an≥2n+2-6.
(1)解析：由已知an+1=2·（）2an,即
.
∴数列{
}是公比为2的等比数列,又
=2,∴
=2n.∴an=2n ·n2.
(2)解析：∵bn+1-bn=［An2+(4A+B)n+2A+2B+C］·2n
若an=bn+1-bn恒成立，则n2=An2+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.
∴
故存在常数A、B、C满足条件.
(3)证明：a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1
=［(n+1)2-4(n+1)+6］·2n+1-6=(n2-2n+3)·2n+1-6=［(n-1)2+2］·2n+1-6≥2n+2-6.
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