Question

已知函数f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（I）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

Answer 1

f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b
=a（cosx+1+sinx）+b
=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，（2分）
（I）当a=1时，f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+1+b，
∴当2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）是增函数，
解得：2kπ-

3

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，（9分）
∵a＜0，∴当sin（x+

π

4

）=1时，f（x）取最小值，即

2

a+a+b=3①，
当sin（x+

π

4

）=-

2

2

时，f（x）取最大值4，即b=4，
将b=4代入①式，解得a=1-

2

，
则a+b=5-

2

．（13分）