题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=b-cosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设 $数学公式$ =（sinA，cos2A）， $数学公式$ =（4k，1）（k＞1），且 $数学公式$ 的最大值是5，求k的值．

解：（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）．∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴cosB= $\text{[math]}$ ，∵0＜B＜π，∴B= $\text{[math]}$ ．
（II） $\text{[math]}$ =4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0， $\text{[math]}$ ），
设sinA=t，则t∈（0，1]．则 $\text{[math]}$ =-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
∵k＞1，∴t=1时， $\text{[math]}$ 取最大值．依题意得，-2+4k+1=5，∴k= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化简可得2sinAcosB=sinA，cosB= $\text{[math]}$ ，从而B= $\text{[math]}$ ．
（II）化简 $\text{[math]}$ ，设sinA=t，则t∈（0，1]，则 $\text{[math]}$ =-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
根据二次函数的性质可得t=1时， $\text{[math]}$ 取最大值，求得k值．
点评：本题考查正弦定理的应用，两个向量的数量积公式，二次函数的性质，判断 sinA=t∈（0，1]是解题的难点．