Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（

1

6

，0），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用△F₁PF₂的重心为G，内心为I，结合三角形的面积公式，直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，求出几何量，即可求出椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，确定线段AB的中点R的坐标，利用线段AB的垂直平分线l′过定点Q（

1

6

，0），可得不等式，从而可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则G（

x0

3

，

y0

3

）
设I（x_I，y_I），则∵IG∥F₁F₂，∴yI=

y0

3

∵|F₁F₂|=2c，∴S△F1PF2=

1

2

|F₁F₂||y₀|=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•

y0

3

∴2c•3=2a+2c
∴e=

c

a

=

1

2

∵直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切
∴b=

6

2

∴b=

3

∴a=2
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，可得m²＜4k²+3
∵x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴y₁+y₂=

6m

3+4k2

∴线段AB的中点R的坐标为（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）
∵线段AB的垂直平分线l′的方程为y=-

1

k

(x-

1

6

)，R在直线l′上，
∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

6

)
∴m=-

1

6k

(4k2+3)
∴[-

1

6k

(4k2+3)]2＜4k2+3
∴k2＞

3

32

∴k＞

6

8

或k＜-

6

8

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．