题目内容

已知函数f（x）=lg $数学公式$ ．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．
（3）求证：f（a）+f（b）=f（ $数学公式$ ）
（4）若f（ $数学公式$ ）=1，f（ $数学公式$ ）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ＞0
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=1g $\text{[math]}$ =lg $\text{[math]}$ =-f（x）故f（x）为奇函数
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg $\text{[math]}$ +1g $\text{[math]}$ =1g $\text{[math]}$
又∵f（ $\text{[math]}$ ）=1g $\text{[math]}$ =1g $\text{[math]}$ ，
∴f（a）+f（b）=f（ $\text{[math]}$ ）
（4）∵f（a）+f（b）=f（ $\text{[math]}$ ）
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f（ $\text{[math]}$ ），
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）= $\text{[math]}$ ，f（b）=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若对称再判断f（-x）与f（x）的关系，易判断函数的奇偶性；
（2）利用定义法（作差法），任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b，然后判断f（a）与f（b）的大小，结合函数单调性的定义即可得到结论；
（3）根据函数解析式，及对数的运算性质，分别计算出f（a）+f（b）与f（ $\text{[math]}$ ）的值，即可得到结论；
（4）根据f（ $\text{[math]}$ ）=1，f（ $\text{[math]}$ ）=2结合（3）的结论，我们易构造一个关于f（a）与f（b）的方程组，解方程组即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性判断，函数的单调性证明，对数的运算性质，抽象函数求值，熟练掌握函数性质的定义是解答本题的关键．