Question

设函数，是定义域为R上的奇函数．

（1）求的值，并证明当时，函数是R上的增函数；

（2）已知，函数，，求的值域；

（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）如下（2）（3）存在正整数=3或4

【解析】

试题分析：解：（1）是定义域为R上的奇函数，，得．

此时，，，即是R上的奇函数．

设，则，

，，，在R上为增函数．

（2），即，或（舍去），

 

令，由（1）知在[1，2]上为增函数，∴，

，

当时，有最大值；当时，有最小值，

∴的值域．

（3）=，，

假设存在满足条件的正整数，则，

①当时，．

②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．

③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．

综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．

∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．

考点：函数的单调性

点评：本题难度较大。函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助，而求函数的单调性有时可以结合导数来求。