Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中．
（1）求证PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的正弦值大小；
（3）求B₁到平面PAD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，设E为BD的中点，由P-ABCD是正四棱锥，知PE⊥平面ABCD，由，知，，由此能证明PA⊥B₁D₁．
（2）设平面PAD的法向量，由，，得．由平面BDD₁B₁的法向量，能求出锐二面角θ的正弦值大小．
（3）由，知B₁到平面PAD的距离d=，由此能求出结果．
解答：（1）证明以A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
设E为BD的中点，∵P-ABCD是正四棱锥，
∴PE⊥平面ABCD，
∵，∴PE=2，
∴P（1，1，4），
∴，，
∴，故PA⊥B₁D₁．
（2）解：设平面PAD的法向量，
∵，，
∴，∴．
∵平面BDD₁B₁的法向量，
∴cos＜＞==-，
∴=．
（3）解：∵，
∴B₁到平面PAD的距离d==．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，求二面角的余弦值，求点到平面的距离，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．