Question

【题目】设、、为集合的任意三个元子集，且，.问：是否存在，，，使得其中某两个数的和等于第三个数？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

用反证法证明：存在，，，使其中某两个数的和等于第三个数.

假设存在某种分拆，，，

使得、、三个元集中不存在这样的三个元素.

记，，，

其中，，，.

设，则，，而.

考虑集合，记.

则为正整数.

（1）若，则，矛盾.

（2）若，考虑个数.

对每个，显然.

又若存在某个，则与，，，矛盾.

于是，所有的，而，

此时，集合中至少有个元素，也得矛盾.

（3）若，在数列中，自左至右设最先取到的项为.

考虑数与，其显然均在 集合中.

由于，而、分 别为集合、的元素，故由假设知.

又据，知，而，由假设知.

因此，只有.

再由，得；由，得.

因此，只有.

由于集合中的两个元素与的差为，

故它们为集合中相邻的两个元素，并且它们分别小于及.

因此，在集合中应当排在先前的一对 元素、之前，

这与、为集合中 最先使得其差为的项的假设矛盾.

于是，结论得证.