Question

已知函数f(x)=log₂+log₂(x-1)+log₂(p-x).

（1）求f(x)的定义域；

（2）求f(x)的值域.

Answer 1

（1）定义域是(1,p)（2）当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;

当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).

解析:

（1）f(x)有意义时，有

由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).

（2）f(x)=log₂［(x+1)(p-x)］

=log₂［-（x-）²+］ (1＜x＜p),

①当1＜＜p，即p＞3时，

0＜-(x-,

∴log₂≤2log₂(p+1)-2.

②当≤1，即1＜p≤3时，

∵0＜-(x-

∴log₂＜1+log₂(p-1).

综合①②可知：

当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;

当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).