Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，且其前10项和为65，又正项数列{b_n}满足．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）比较b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公差为d，则，再由a₁=2，得d=1，由此能够求出数列{b_n}的通项公式．
（2），，由此能够判断b₁，b₂，b₃，b₄的大小．
（3）猜想当n≥2时，．函数中，，故在（e，+∞）上是减函数，所以．猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是．
解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则，又a₁=2，得d=1，从而a_n=n+1
故．（4分）
（2），
，
，
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄．（8分）
（3）由（2）猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，．（10分）
考察函数，
则，∵x＞e时，lnx＞1，∴y'＜0，
故在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e，（12分）
所以，即．
猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是．（14分）
点评：自从导数走进高考试题中，就和函数形影不离，并且与方程、数列、解析几何以及立体几何等分支的知识联姻，成为高考的一道亮丽的风景线．预计导数还会与平面向量、概率与统计等分支的知识联合，展示其独特的魅力．