Question

已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆

心的轨迹为．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由题知圆圆心为，半径为，设动圆的圆心为

半径为，，由,可知点在圆内，所以点的轨迹是以为焦点

的椭圆，设椭圆的方程为，由，得，

故曲线的方程为      ………………………6分

（Ⅱ）当时，由可得

当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点；

当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．

当时得，代入，消去整理得：

--------------------------------①  ………………9分

由点为曲线上一点，故．即

于是方程①可以化简为：

解得．将代入得，说明直线与曲线有且只有一个交点．

综上，不论点在何位置，直线：与曲线恒有且只有一个交点，交点即．                 ……………………………………………12分

【解析】略