题目内容

已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆

的轨迹为

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.

(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).

 

【答案】

解:(Ⅰ)由题知圆圆心为,半径为,设动圆的圆心为

半径为,由,可知点在圆内,所以点的轨迹是以为焦点

的椭圆,设椭圆的方程为,由,得

故曲线的方程为                  ………………………………4分

(Ⅱ)当时,由可得

时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点

时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点

时得,代入,消去整理得:

--------------------------------①  …………6分

由点为曲线上一点,故.即

于是方程①可以化简为:

解得.将代入,说明直线与曲线有且只有一个交点

综上,不论点在何位置,直线与曲线恒有且只有一个交点,交点即                               …………………………………………8分

(Ⅲ)更一般的结论:对椭圆,过其上任意一点的切线方程为

在双曲线中的类似的结论是:过双曲线 上任意一点的切线方程为:.…………………………………12分

【解析】略

 

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