题目内容
已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).
【答案】
解:(Ⅰ)由题知圆圆心为,半径为,设动圆的圆心为
半径为,,由,可知点在圆内,所以点的轨迹是以为焦点
的椭圆,设椭圆的方程为,由,得,
故曲线的方程为 ………………………………4分
(Ⅱ)当时,由可得
当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点
当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点
当时得,代入,消去整理得:
--------------------------------① …………6分
由点为曲线上一点,故.即
于是方程①可以化简为:
解得.将代入得,说明直线与曲线有且只有一个交点.
综上,不论点在何位置,直线:与曲线恒有且只有一个交点,交点即 …………………………………………8分
(Ⅲ)更一般的结论:对椭圆,过其上任意一点的切线方程为;
在双曲线中的类似的结论是:过双曲线 上任意一点的切线方程为:.…………………………………12分
【解析】略
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