Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2012，数列{a_n}前n项和记为S_n，S₃=1509．
（1）求等比数列{a_n}的公比q；
（2）求数列{S_n}的最大项和最小项；
（3）证明{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差构成一个数列{d_n}，证明：数列{d_n}为等比数列．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义和通项公式建立方程即可求等比数列{a_n}的公比q；
（2）根据等比数列的前n项和公式即可求数列{S_n}的最大项和最小项；
（3）根据等比数列的定义进行证明即可．

解答：解：（1）S3=2012(1+q+q2)=1509，q2+q+

1

4

=0，
∴q=-

1

2

．
（2）Sn=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]
①当n是奇数时，Sn=

2

3

a1[1+(

1

2

)n]，单调递减，
∴S1＞S3＞S5＞…＞S2n-1＞

2

3

a1，
②当n是偶数时，Sn=

2

3

a1[1-(

1

2

)n]，单调递增，
∴S2＜S4＜S6＜…＜S2n＜

2

3

a1；
综上，当n=1时，S_n有最大值为S₁=2012； 
当n=2时，S_n有最小值为S₂=1006．
（3）{a_n}随n增大而减小，数列{a_n}的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增．
①当n是奇数时，调整为a_n+1，a_n+2，a_n．
则an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n+1，a_n+2，a_n成等差数列；
②当n是偶数时，调整为a_n，a_n+2，a_n+1；
则an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=-

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=-

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n，a_n+2，a_n+1成等差数列；
综上可知，数列{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列
①n是奇数时，公差dn=an+2-an+1=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=

3a1

2n+1

；
②n是偶数时，公差dn=an+2-an=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=

3a1

2n+1

．
无论n是奇数还是偶数，都有dn=

3a1

2n+1

，则

dn

dn-1

=

1

2

，
因此，数列{d_n}是首项为

3

4

a1，公比为

1

2

的等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的定义和通项公式的应用，综合考查了等比数列的性质，考查学生的计算能力．