题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为 $数学公式$ ，数列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．
（1）求{b_n}的通项b_n；
（2）证明{a_n}是等差数列；
（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有a_n=log_ab_n+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（3分）
（2）当n≥2时： $\text{[math]}$
又n=1时：a₁=S₁=8=6×1+2
∴a_n=6n+2．…（6分）
∴a_n-a_n-1=6n+2-6（n-1）-2=6
∴{a_n}是等差数列 …（7分）
（3）假设存在这样的a、b，使得对一切自然数n都有a_n=log_ab_n+b成立，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ …（10分）
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴存在这样的数 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）由数列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．能求出公式 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{b_n}的通项公式
（2）由数列{a_n}的前n项和为 $\text{[math]}$ ，能求出a_n=6n+2，由此能够证明{a_n}是等差数列．
（3）假设存在这样的a、b，使得对一切自然数n都有a_n=log_ab_n+b成立，则 $\text{[math]}$ ，由此入手，能够求出a、b的值．
点评：本试题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的求解以及数列的综合运用．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．