Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：(1+

1

n

)n＜e(n∈N+)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1，从而可证．

解答：解：f′(x)=

1

x

-a…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0所以当a≤0时，f′(x)=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
当a＞0时，f（x）在(0，

1

a

)上f′(x)=

1

x

-a＞0，f(x)在(

1

a

，+∞)上f′(x)=

1

x

-a＜0，
故f（x）在(0，

1

a

)上是增函数，f（x）在(

1

a

，+∞)上是减函数…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a≤0时，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上不恒成立；…（8分）
当a＞0时，f（x）在x=

1

a

处取得最大值为ln

1

a

-1，
因此ln

1

a

-1＜0，即a＞

1

e

时，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
即lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立．
所以当lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立时，a的取值范围为(

1

e

，+∞)…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1
所以lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），令x=1+

1

n

＞1(n∈N+)，
则得ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即nln(1+

1

n

)＜1，…（12分）
从而得ln(1+

1

n

)n＜1=lne，由函数y=lnx的单调性得(1+

1

n

)n＜e(n∈N+)…（14分）

点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．