Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得

f(x)

x

＜0成立的x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）是定义在R上的偶函数可得f（-x）=f（x），从而由f（2）=0可得f（-2）=0，再由f（x）在（-∞，0]上是减函数，可解

f(x)

x

＜0．

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-2）=f（2）=0，
   又f（x）在（-∞，0]上是减函数，
∴当x＜-2时，f（x）＞0；
由函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称可知，
当x＞2时，f（x）＜0；
∴使得

f(x)

x

＜0成立的x的取值范围是：x＜-2或0＜x＜2．
 故答案为：{x|x＜-2或0＜x＜2}．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，关键是对“偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0”的正确理解与转化，可以采用图象法解决，属于中档题．