Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：f(

n

n-1

)＞0．

Answer 1

分析：（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，则[1，+∞）是函数增区间的子区间，求函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调增区间，再让[1，+∞）的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可．
（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在[

1

2

，2]上的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．
（3）借助（1）中判断的函数在[1，+∞）上是增函数，把证明f(

n

n-1

)＞0转化为比较函数值大小的问题．

解答：解：（1）由已知：f′(x)=

ax-1

ax2

，
依题意：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）成立，
∴ax-1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

，对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥(

1

x

)max，即a≥1．             
（2）当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

，x∈[

1

2

，2]，
若x∈[

1

2

，1），则f′（x）＜0，
若x∈（1，2]，则f′（x）＞0，
故x=1是函数f（x）在区间[

1

2

，2]上唯一的极小值点，也就是最小值点，
故f（x）_min=f（1）=0．                 
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，则f（

1

2

）-f（2）=1-ln2-（-

1

2

+ln2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

，
∵e³＞2.7³=19.683＞16，
∴f（

1

2

）-f（2）＞0，∴f（

1

2

）＞f（2），
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大值是f（

1

2

）=1-ln2，
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大1-ln2，最小0．       
（3）当a=1时，由（1）知，f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）是增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0．

点评：本题主要考查导函数与原函数的单调性，极值之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．导函数等于于0时为极值点．