Question

已知函数f( x) 的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥3，且f(x)＝4； ②若x1≥0，x2≥0,x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3 (1) 求f( 0) 的值； (2) 求证：f(x)≤4； (3) 当时，试证明：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令， 由①对于任意[0,1]，总有，∴1分 又由②得即2分 ∴3分
(2)	解：任取且设则 因为，所以，即∴．5分 ∴当[0,1]时，．6分
(3)	证明：先用数学归纳法证明： ①当n＝1时，，不等式成立；7分 ②假设当n＝k时， 由 得即 所以，当n＝k＋1时，不等式成立；10分 由①、②可知，不等式对一切正整数都成立．11分 于是，当时，， 所以，13分