Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，求出数列{b_n}的前两项，即可求得数列的公差；
（2）先求数列{b_n}的通项公式，进而再利用条件，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（3）先利用基本不等式，得出，进而相乘，即可证明．
解答：解：（1）∵a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴b₁=S₁+3a₁，b₂=2S₂+4a₂，
∴d=b₂-b₁=4
（2）∵数列{b_n}是公差为4的等差数列，b₁=4
∴b_n=4n
∵b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴4n=nS_n+（n+2）a_n，
∴①
当n≥2时，②
①-②：
∴
∴
∴=
∵a₁=1，∴
（3）∵
∴
∴
∴③
∵n=1，
∴等号不成立
∴
点评：本题重点考查数列的通项，考查不等式的证明，解题的关键是挖掘数列的通项与前n项和的关系．