Question

（2012•山西模拟）已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）若a=2时，方程f（x）=m有三个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a＞2时，化简函数y=f（x）表达式，通过2＜a≤3，a＞3分别求出函数在区间[1，2]上的最小值即可；
（2）若a=2时，方程f（x）=m有三个不同的实根，画出函数的图象，即可求解m的取值范围．

解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，
∴f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，
当1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3时，f（x）_min=f（2）=2a-4，
当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，f（x）_min=f（1）=a-1．
∴f（x）=

2a-4     ，2＜a≤3 a-1       ，a＞3

．
（2）当a=2时，f（x）=

x2-2x     ，x≥2 -x2+2x      ，x＜2

，
如图为f（x）的图象，
∵方程f（x）=m有三个不同的实根，
∴m的取值范围是：0＜m＜1．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，方程的根与函数的零点，考查数形结合，计算能力．