Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，且AB=BC=1，AA₁=2．求：
①三棱柱的全面积S．
②三棱柱体积V．

Answer 1

分析：①根据AB⊥BC且AB=BC=1，利用勾股定理算出AC=

2

，根据直角三角形的面积公式，算出底面△ABC的面积．再由直三棱柱的性质，算出各个侧面矩形的面积，将各个面的面积相加即可得到三棱柱的全面积S．
②根据柱体的体积公式，结合（1）中算出的数据加以计算，可得三棱柱体积V．

解答：解：①∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×BC=

1

2

，AC=

AB2+BC2

=

2

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四边形AA₁B₁B、四边形AA₁C₁C和四边形BB₁C₁C都是矩形，
∵AA₁=2，∴矩形AA₁B₁B的面积为 SAA1B1B=AA₁×AB=2，
同理可得 SAA1C1C=2

2

， SBB1C1C=2．
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积为
S=2S_△ABC+ SAA1B1B+ SAA1C1C+ SBB1C1C=5+2

2

；
②∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，S_△ABC=

1

2

，AA₁=2
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V=S_△ABC×AA₁=

1

2

×2=1．

点评：本题给出底面为等腰直角三角形直三棱柱，求它的表面积与体积．着重考查了直棱柱的性质、勾股定理、三角形与矩形的面积公式和柱体的体积公式等知识，属于中档题．