Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N，求证{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和S₁₀₀＜100．

Answer 1

解：（1）；
（2）∵
=，
又∵，
∴数列{b_n}是等比数列，
且；
（3）由（2）得：
（n=1，2，…，50）
∴=99+＜100．
分析：（1）由数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=，分别令n=2，3，4，5代入解出函数值即可；
（2）由于b_n=a_2n-2，要证明{b_n}是等比数列，利用等比数列的定义即可得到，在利用等比数列的通项公式求出通项；
（3）在（2）条件下得： （n=1，2，…，50），由通项公式利用分组求和及等比数列的求和公式即可求得．
点评：此题考查了有数列的递推关系求前5项的数值，等比数列的定义及通项公式，分组求和及等比数列的求和公式．