Question

2．由5个元素的构成的集合M={4，3，-1，0，1}，记M的所有非空子集为M₁，M₂，…，M_n，每一个M_i（i=1，2，…，31）中所有元素的积为m_i（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m₁+m₂+…+m₃₃=-1．

Answer 1

分析 方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，-1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可；
方法二：由二项式的推导思想可知，m₁+m₂+…+m₃₁=（1+4）（1+3）（1-0）（1-1）（1+1）-1=-1．

解答 解：方法一：若非空子集中含有元素0，
则其所有元素的积为0，
所以可转化为集合{4，3，-1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，
①当子集中有1个元素时，
4+3+1-1=7，
②当子集中有2个元素时，
4×3+4×（-1）+4×1+3×（-1）+3×1+（-1）×1=11，
③当子集中有3个元素时，
$\frac{-12}{4}$+$\frac{-12}{3}$+$\frac{-12}{-1}$+$\frac{-12}{1}$=-7，
④当子集中有4个元素时，
4×（-1）×3×1=-12；
故m₁+m₂+…+m₃₁=7+11-7-12=-1；
方法二：由题可得，
m₁+m₂+…+m₃₁=（1+4）（1+3）（1-0）（1-1）（1+1）-1
=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题．