Question

对于函数f（x）=x²-2x+k，k∈R，当a+b≤2时，在定义域[a，b]内值域也是[a，b]，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

分析：根据定义域及函数在[a，b]单调性，求出函数值域，使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]的a与b的值，即可判定k的范围．
解答：∵f（x）=（x-1）²+k-1又a+b≤2且a＜b则a＜1；
当（ⅰ） b＜1时，f（x）在区间[a，b]上递减，进而有：
两式相减可得：a+b=1于是a，b可看成是方程x²-x+k-1=0两根，由根的分布规律可知：
当（ⅱ）b≥1时，则根据题意有：∴-1≤a≤0
进而：0≤k≤1．综合以上，得到：．
点评：本题主要考查了利用函数单调性来求函数的值域，属于基础题．