Question

【题目】如图（1），平面直角坐标系中，的方程为，的方程为，两圆内切于点，动圆与外切，与内切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）如图（2），过点作的两条切线，若圆心在直线上的也同时与相切，则称为的一个“反演圆”

（ⅰ）当时，求证：的半径为定值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，已知均与外切，与内切，且的圆心为，求证：若的“反演圆”相切，则也相切。

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析

【解析】

（1）设的半径为，根据题意得到，，根据椭圆定义，即可判断出点轨迹，从而求出轨迹方程；

（2）（ⅰ）设，得到的半径为，设，由题意得到，过点的的切线方程为，由点到直线距离公式，得到到切线的距离以及到切线的距离，再由，即可证明结论成立；

（ⅱ）由的圆心为，得到在轨迹上，此时的半径为，其反演圆圆心为，半径为，再由题意，得到与相切的反演圆的圆心为，或，半径为；分别讨论的圆心为，以及的圆心为两种情况，即可证明结论成立.

（1）由题意，设的半径为，

与内切，，

与外切，，

，

由椭圆的定义，点在椭圆上运动，

，，，

其轨迹方程为.

（2）（ⅰ）设，此时的半径为，

设，

则为与的交点，其坐标为，

设过点的的切线方程为，

到切线的距离，

到切线的距离为：

，

，

，

当时，的半径为定值.

（ⅱ）当的圆心为时，显然在轨迹上，

此时的半径为，其反演圆圆心为，半径为，

由题意，与相切的反演圆的圆心为，或，半径为；

1）当的圆心为时，易知与重合，

其方程为，

，故相切；

2）当的圆心为时，三点共线，

为直线与椭圆的交点，

的方程为：，故，

又，的半径，

，故相切.