Question

规定A

m x

=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且

A

0 x

=1，这是排列数A

m n

（n，m是正整数，n≤m）的一种推广．
（Ⅰ） 求A

3 -9

的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：①A

m n

=nA

m-1 n-1

，②A

m n

+mA

m-1 n

=A

m n+1

（其中m，n是正整数）．是否都能推广到A

m x

（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）已知函数f（x）=A

3 x

-4lnx-m，试讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接代入定义求解；
（Ⅱ）利用新定义，结合排列数的两个性质即可证明推广的结论；
（Ⅲ）由新定义展开函数f（x），求导后得其导函数的零点，得其在各区间段内的单调性，然后对m进行讨论得其零点个数．

解答：解：（Ⅰ）

A

3 -9

=-9×(-10)×(-11)=-990；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①

A

m x

=x

A

m-1 x-1

，②

A

m x

+m

A

m-1 x

=

A

m x+1

（x∈R，m∈N^*）
证明：①当m=1时，左边=

A

1 x

=x，右边=x

A

0 x

=x，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）…（x-m+1）=x{（x-1）（x-2）…[（x-1）-（m-1）+1]}=x

A

m-1 x-1

．
因此，

A

m x

=x

A

m-1 x-1

（x∈R，m∈N^*）成立．
②当m=1时，左边=

A

1 x

+

A

0 x

=x+1=

A

1 x+1

=右边，等式成立；
当m≥2时，左边x（x-1）…（x-m+1）+mx（x-1）…（x-m+2）
=x（x-1）…（x-m+2）（x-m+1+m）
=（x+1）x（x-1）…（x-m+2）
=（x+1）x（x-1）…[（x+1）-m=1]
=

A

m x+1

=右边
因此，

A

m x

+m

A

m-1 x

=

A

m x+1

（x∈R，m∈N^*）成立．
（Ⅲ）f（x）=

A

3 x

-4lnx-m=x(x-1)(x-2)-4lnx-m=x3-3x2+2x-4lnx-m
设函数g（x）=x³-3x²+2x-4lnx，
函数f（x）零点的个数等价于函数g（x）与y=m公共点的个数．
f（x）的定义域为（0，+∞）
g′(x)=3x2-6x+2-

4

x

=

3x3-6x2+2x-4

x

=

(x-2)(3x2+2)

x

．
令g^′（x）=0，得x=2

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	减	-4ln2	增

∴当m＜-4ln2时，函数g（x）与y=m没有公共点，即函数f（x）不存在零点，
当m=-4ln2时，函数g（x）与y=m有一个公共点，即函数f（x）有且只有一个零点，
当m＞-4ln2时，函数g（x）与y=m有两个公共点，即函数f（x）有且只有两个零点．

点评：本题考查了排列及排列数公式，考查了利用导函数判断原函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对新定义的理解与运用，是中档题．